Question

（1）利用定義證明：函數f（x）=x³-3x在[0，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增；
（2）設x₀是方程x³-3x=100的正實數解，利用（1）的結論，求證：4＜x₀＜5．

Answer 1

分析：（1）根據函數單調性的證明步驟：取值-作差-變形-判斷符號-下結論，在對應的定義域內進行取值，判斷符號時需要分類討論；
（2）先對函數解析式進行化簡，判斷出x₀所在的單調區間，再由單調性和f（4）=52、f（5）=110，證明出結論正確．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁³-3x₁）-（x₂³-3x₂）

=x13-x23-3x1+3x2 =(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3)

∵0≤x₁＜x₂，即x₁-x₂＜0
當x₁，x₂∈[0，1]時，x₁²+x₁x₂+x₂²-3＜0，有f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
當x₁，x₂∈[1，+∞）時，x₁²+x₁x₂+x₂²-3＞0，有f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
由單調性定義得：f（x）=x³-3x在[0，1]上單調減，在[1，+∞）上單調增；
（2）由于f（x）=x³-3x=x（x²-3），當0≤x≤

3

時，f（x）≤0＜100，
∴方程x³-3x=100的正實數解x0＞

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又∵f（x）=x³-3x在[1，+∞）上的增函數，且f（x₀）=100，f（4）=52，f（5）=110，
∴f（4）＜f（x₀）＜f（5），即4＜x₀＜5．

點評：本題考查了函數單調性的證明以及應用，利用定義法證明函數的單調性時，必須遵循取值-作差-變形-判斷符號-下結論這個步驟，涉及了分類討論思想．