Question

【題目】如圖，在矩形紙片中，，，在線段上取一點，沿著過點的直線將矩形右下角折起，使得右下角頂點恰好落在矩形的左邊邊上．設折痕所在直線與交于點,記折痕的長度為，翻折角為．

（1）探求與的函數關系，推導出用表示的函數表達式；

（2）設的長為，求的取值范圍；

（3）確定點在何處時，翻折后重疊部分的圖形面積最小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，翻折后重疊部分的圖形面積最小

【解析】

（1）由圖可知與的函數關系式為 =，再求函數定義域的范圍即可；

（2）由三角函數的性質求函數在區間上的值域即可；

（3）由均值不等式求函數的最值，由取等的條件求出的值即可.

解：（1）設頂點翻折到邊上的點為，由題意可得,

，因為，

所以=，

即與的函數關系式為 =，

由題意有，首先利用，可知，

解得，所以，

又由，可知，即，

即，

故與的函數關系式為 =，；

（2），

當，，

所以，

故的取值范圍為；

（3） ，

又

（當且僅當= 即時取等號，

故當時，取最小值，

故 時，取最小值.