（本小題滿分14分）
已知橢圓
：
上的一動點
到右焦點的最短距離為
，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 過點
(
，
)的動直線
交橢圓于
、
兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點
，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
解： (Ⅰ)設橢圓的焦距為
，則由題設可知
，解此方程組得
，
. 所以橢圓C的方程是
. ………5分
(Ⅱ)解法一：假設存在點T（u, v）. 若直線l的斜率存在，設其方程為
，
將它代入橢圓方程，并整理，得
設點A、B的坐標分別為
，則
……7分
因為
及
所以
……10分
當且僅當
恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，
所以
解得
此時以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）. ……12分
當直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為
也過點T（0，1）.
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1），滿足條件. ……14分
解法二：若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是
若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是
由
解得
.
由此可知所求點T如果存在，只能是（0，1）. ……8分
事實上點T（0，1）就是所求的點. 證明如下：
當直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為，
過點T（0，1）；當直線l的斜率存在，設直線方程為，代入橢圓方程，并整理，得
設點A、B的坐標為
，則 ……11分
因為
，
所以
，即以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）. ……13分
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件. ……14分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解析
心算口算巧算一課一練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題滿分14分）設橢圓C1的方程為
(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=
，且曲線C1與C2在第一象限內只有一個公共點P。（1）試用a表示點P的坐標；（2）設A、B是橢圓C1的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數S(a)的值域；（3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。
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科目：高中數學 來源：2011年江西省撫州市教研室高二上學期期末數學理卷（A） 題型：解答題
（本小題滿分14分）
已知
=2，點（
）在函數
的圖像上，其中
=
.
(1)證明：數列
}是等比數列；
（2）設
，求
及數列{
}的通項公式；
（3）記
，求數列{
}的前n項和
，并證明
.
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科目：高中數學 來源：2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數學試卷（解析版） 題型：解答題
(本小題滿分14分)
某網店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監測統計發現，第
天(
)的銷售價格(單位：元)為
，第天的銷售量為
，已知該商品成本為每件25元.
（Ⅰ）寫出銷售額
關于第天的函數關系式；
（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；
（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省高三下學期第一次月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分14分）已知
的圖像在點
處的切線與直線
平行.
⑴ 求
，
滿足的關系式；
⑵ 若
上恒成立，求的取值范圍；
⑶ 證明：
（
）
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