Question

已知函數f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（I）若函數f（x）在區間上是減函數，求實數a的取值范圍．
（II）試討論函數f（x）是否既有極大值又有極小值？若有，求出a的取值范圍；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由f（x）=-x²+ax+1-lnx得，
∵f（x）在區間上是減函數，∴當時，＜0恒成立，
即a＜2x+恒成立，令g（x）=2x+，則g^′（x）=2-
∵＞4，∴g^′（x）=2-＜0
∴g（x）=2x+在區間上是減函數，
∴，∴．

（II）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f（x）得到：f^′（x）==0，得-2x²+ax-1=0，△=a²-8
①當-2-8＜0，-2x²+ax-1＜0恒成立，所以f^′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是減函數，f（x）不存在極值；
②當a=±2+ax-1≤0，∴f^′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上是減函數，f（x）不存在極值；
③當a＜-2（x）=0得：x₁=∵x₁＜0∉（0，+∞）∴f（x）在（0，+∞）不可能存在兩個極值點；
④當a＞2（x）=0得：x₁= 此時，x₂＞x₁＞0，f^′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

由表可以知道，f（x₁）是f（x）的極小值，f（x₂）是f（x）的極大值；綜上：當a≤-2時，f（x）不可能即有極大值又有極小值；
當a＞2時，f（x）即有極大值f（x₂），又有極小值f（x₁）．
分析：（I）由題意函數上是減函數，等價于函數在此區間上恒成立，對于恒成立往往是把字母變量放在一邊，另一邊轉化為求函數在定義域下的最值，即可
（II）由函數求導函數為：，接著針對字母a的取值范圍求該函數在定義域下的極值即可．
點評：此題考查了求導函數，此題考查了恒成立問題，還考查了求函數的極值及解題時等價轉化的思想．