Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，極坐標系中，弧所在圓的圓心分別為，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.

（1）分別寫出的極坐標方程；

（2）直線的參數方程為（為參數），點的直角坐標為，若直線與曲線有兩個不同交點，求實數的取值范圍，并求出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；；；，或（2），

【解析】

（1）設弧上任意一點

根據ABCD是邊長為2的正方形，AB所在的圓與原點相切，其半徑為1，求得，同理求得其他弧所對應的極坐標方程.

（2）把直線的參數方程和的極坐標方程都化為直角坐標方程，利用數形結合求解，把直線的參數方程化為直線的標準參數方程，直角坐標方程聯立，再利用參數的幾何意義求解.

（1）如圖所示：

設弧上任意一點

因為ABCD是邊長為2的正方形，AB所在的圓與原點相切，其半徑為1，

所以

所以的極坐標方程為；

同理可得：的極坐標方程為；

的極坐標方程為；

的極坐標方程為，或

（2）因為直線的參數方程為

所以消去t得，過定點，

直角坐標方程為

如圖所示：

因為直線與曲線有兩個不同交點，

所以

因為直線的標準參數方程為，代入直角坐標方程

得

令

所以

所以

所以的取值范圍是