Question

已知等差數列{a_n}的公差d大于0，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．數列{b_n}滿足an=b1+

b2

2

+

b3

22

+…+

bn

2n-1

 (n∈N *)．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

anan+1an+2

bn+1

，求c_n取得最大值時n的值．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}首項為a₁，由已知結合等差數列性質得出，a₃+a₆=a₂+a₇．轉化為關于a₃，a₆=的方程組，再利用相關性質求出a₁，d，得出數列{a_n}的通項公式；當n=1時，b₁=a₁=1； 當n≥2時推導得出

bn

2n-1

=an-an-1=2．可求得bn=

1，     n=1 2n，   n ≥ 2，n∈N *.

（2）設c_n≤c_n+1，求出n ≤ 

7

2

（等號不成立），所以n=4時，c_n最大．

解答：解：（1）∵{a_n}是一個公差d大于0的等差數列，則a₃+a₆=a₂+a₇．
∴

a3+a6=16 a3a6=55.

解得

a3=5 a6=11.

…（2分）
則3d=a₆-a₃=6，d=2．a₁=1．
∴a_n=2n-1．                                …（4分）
∵an=b1+

b2

2

+

b3

22

+…+

bn

2n-1

(n∈N *)，①
1°當n=1時，b₁=a₁=1；                        …（5分）
2°當n≥2時，an-1=b1+

b2

2

+

b3

22

+…+

bn-1

2n-2

(n ≥ 2，n∈N *)，②
①-②，得

bn

2n-1

=an-an-1=2．
∴bn=2n(n ≥ 2)．                              …（8分）
由1°，2°，得bn=

1，     n=1 2n，   n ≥ 2，n∈N *.

…（9分）
（2）設c_n≤c_n+1，即 

anan+1an+2

bn+1

 ≤ 

an+1an+2an+3

bn+2

．    …（10分）
∵a_n＞0，b_n+2=2b_n+1，∴2a_n≤a_n+3．
即2（2n-1）≤2n+5，∴n ≤ 

7

2

（等號不成立）．      …（12分）
∴c₁?c₂?c₃?c₄，c₄?c₅?…．
∴n=4時，c_n最大．                           …（14分）

點評：本題考查數列通項公式求解，數列的單調性，考查轉化構造、推理計算能力．