Question

【題目】設函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）滿足：x∈R都有f（x）+f（﹣x）=0，且x=1時，f（x）取極小值 ．

（1）f（x）的解析式；

（2）當x∈[﹣1，1]時，證明：函數圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直：

（3）設F（x）=|xf（x）|，證明： 時， ．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析（3）見解析

【解析】解：（1）因為，x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，所以：b=d=0，

由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：，得

解之得：，c=﹣1從而，函數解析式為：

（2）由于，f'（x）=x2﹣1，

設：任意兩數x1，x2∈[﹣1，1]是函數f（x）圖象上兩點的橫坐標，

則這兩點的切線的斜率分別是：k1=f'（x1）=x12﹣1，k2=f'（x2）=x22﹣1

又因為：﹣1≤x1≤1，﹣1≤x2≤1，所以，k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0知：k1k2≠﹣1

故，當x∈[﹣1，1]是函數f（x）圖象上任意兩點的切線不可能垂直）

（3）當：時，x2∈（0，3）且3﹣x2＞0此時F（x）=|xf（x）|===

當且僅當：x2=3﹣x2，即，取等號，故；