Question

（文）如圖，已知矩形ACEF的邊CE與正方形ABCD所在平面垂直，AB=

2

，
AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求異面直線CM與直線AB所成的角的大��；
（2）求多面體EFABCD的表面積．

Answer 1

分析：（1）連接MD，可通過面面垂直得到線面垂直，從而在直角三角形中用勾股定理算出DC=CM=DM，得到△CDM是等邊三角形．而根據CD∥AB，可得∠CDM即為異面直線CM與AB所成的角，得到CM與直線AB所成的角為60°；
（2）多面體EFABCD的表面積為四個全等的直角三角形，加上兩個全等的等腰三角形和一個正方形，根據（1）的計算和證明的結論，得到這個表面積．

解答：解：（1）∵CD∥AB，∴∠CDM（或其補角）即為異面直線CM與AB所成的角，…（2分）
連接MD，在△CEM中，CE=EM=1，CE⊥EM
∴CM=

2

CM=CE2+EM2=2，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，CE⊥AC
∴CE⊥平面ABCD，結合CD?平面ABCD，得CE⊥CD
又∵Rt△CDE中，DE=

CE2+CD 2

=

3

，同理DF=

3

，∴DE=DF，
∵M是線段EF的中點，∴DM=

DF2-MF2

=

2

，
∴△CDM中，DC=CM=DM=

2

，△CDM是等邊三角形，…（5分）
所以∠CMD=60°，即異面直線CM與AB所成的角為60°；…（6分）
（2）由（1）的計算，得S_△CDE=S_△BCE=S_△ADF=S_△ABF=

1

2

•

2

•1=

2

2

，…（8分）
S_△BEF=S△DEF=

1

2

•2•

2

=

2

…（10分）
而S_ABCD=(

2

)2=2
∴多面體EFABCD的表面積為：S表=4S△ABF+2S△DEF+SABCD=4

2

+2．…（12分）

點評：本題給出一個特殊的多面體，叫我們求異面直線所成角和幾何體的表面積，著重考查了線面垂直與面面垂直的判定與性質和異面直線所成角的求法等知識，屬于基礎題．