Question

(2005江西，20)如下圖，在長方體中，，AB=2，點E在棱AB上移動．

(1)證明：；

(2)當E為AB的中點時，求點E到面的距離；

(3)AE等于何值時，二面角的大小為．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)∵AE⊥平面，， ∴． (2)設點E到面的距離為h，在△中，，．故， 而， ∴， ∴． (3)過D作DH⊥CE于H，連、DE，則⊥CE， ∴為二面角的平面角． 設AE=x，則BE=2－x，在Rt中， 由，得DH=1．∵在Rt△ADE中，， ∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中， 在Rt△CBE中，， ∴． 所以時，二面角的大小為． 解法二：以D為坐標原點，直線DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則(1，0，1)，(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)． (1)因為， 所以． (2)因為E為AB的中點，則E(1，1，0)， 從而，，， 設平面的法向量為n=(a，b，c)， 則也即得 從而n=(2，1，2)， 所以點E到平面的距離為． (3)設平面的法向量n=(a，b，c)， 所以 ，，， 由 令b=1，所以c=2，a=2－x．所以n=(2－x，1，2)． 依題意． 所以(不合，舍去)，， 所以時，二面角的大小為．

提示：

剖析：本題考查線線垂直、點面距離以及二面角的知識，可采用傳統綜合法或平面向量法求解．