Question

已知函數f（x）=x³-3ax-1在x=-1處取得極值．
（1）求a的值，并求f（x）在區間[-2，3]上的值域．
（2）若直線y=9x+m與y=f（x）的圖象有三個不同的公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數f（x）=x³-3ax-1，對其進行求導，根據極值點，可知f′（-1）=0，求出a的值，根據導數研究函數的最值問題；
（2）直線y=9x+m與y=f（x）的圖象有三個不同的公共點，對f（x）進行求導，求出其極值點，求出切點坐標，從而求出切線方程，求出截距，從而求解；
解答：解：（1）f'（x）=3x²-3a，
∴f'（-1）=0⇒a=1，
f'（x）=3（x²-1）=3（x+1）（x-1）＞0⇒x＞1或x＜-1；
f'（x）＜0⇒-1＜x＜1．
在區間[-2，3]上的單調遞增區間分別為[-2，-1]、[1，3]；
遞減區間為（-1，1）…（6分）
∴y_極大值=f（-1）=1，y_極小值=f（1）=-3，又f（-2）=-3，f（3）=17，
∴值域為[-3，17]…（8分）
（2）在函數f（x）的圖象上與直線y=9x+m平行的切線共有兩條，
當直線兩切線之間時，該直線與函數f（x）的圖象有三個不同的交點．
由f′（x）=3（x²-1）=9⇒x=±2，故切點坐標為（-2，-3），（2，1），
切線方程分別為：y+3=9（x+2），它們在y軸上的截距分別為15、-17，
∴m的取值范圍為（-17，15）；
點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，綜合性比較強，是一道基礎題，第二問將問題轉化為切線的截距問題，是一道好題；