Question

設a為實數，記函數的最大值為．

（1）設t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t) ；

（2）求 ；

（3）試求滿足的所有實數a．

 

Answer 1

【答案】

（1）,；（2）=（3）.

【解析】

試題分析：(1)根據的取值范圍求出的范圍，再將用含的式子表示；（2）由題意知即為函數，的最大值，因為對稱軸含有參數，所以要討論處理；（3）根據（2）問得出的，由在對應區域上討論解答即可.

試題解析：（1）∵，∴要使有意義，必須且，即.

∵，且  ①   

∴的取值范圍是,                                           2分

由①得：，

∴，.                  4分

（2）由題意知即為函數，的最大值，

∵直線是拋物線的對稱軸，                        5分

∴可分以下幾種情況進行討論：

①當時，函數，的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由知在上單調遞增，故；

②當時，，，有=2；

③當時，，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若即時，，

若即時，，

若即時，.     9分

綜上所述，有=                         10分

（3）當時，；

當時，，，∴，

，故當時，； 

當時，，由知：，故；

當時，，故或，從而有或，

要使，必須有，，即，

此時，.                            13分

考點：1.分段函數；2.二次函數；3.函數最值.