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已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的不恒為零的函數，且對定義域內的任意x、y,f(x)都滿足f(xy)=yf(x)+xf(y).

(1)求f(1)、f(-1)的值；

(2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由.

思路分析：(1)利用賦值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=-1，得f(-1)的值；(2)利用定義法證明f(x)是奇函數，要借助于賦值法得f(-x)=-f(x).

解：(1)∵f(x)對任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，

∴令x=y=1時，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).

∴f(1)=0.

∴令x=y=-1時，有f［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).

∴f(-1)=0.

(2)∵f(x)對任意x，y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，

∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).

將f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x)，

∴函數f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下列結論中正確的是
①②③
①②③
．
①函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+1）=-f（x），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
②已知ξ～N（16，σ2），若P（ξ＞17）=0.35，則P（15＜ξ＜16）=0.15；
③
已知f(x)是定義在(-∞，+∞)上的偶函數，且在(-∞，0]上是增函數．設a=f(ln
1
3
)，b=f(log43)，
c=f(0.4-1.2)，則c＜a＜b；

④線性相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個變量線性相關程度越弱．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)是定義在實數集R上的函數,它的反函數為f-1(x),若y=f-1(x+1)與y=f(x+1)互為反函數,且f(1)=1,則f(2)的值為

A.2                  B.1                   C.0                   D.-1

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a,b∈R,滿足f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a=(n∈N*),b=(n∈N*);考查下列結論：

①f(0)=f(1);②f(x)為偶函數；③數列{a}為等比數列；④{b}為等差數列.

其中正確的是               .

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科目：高中數學 來源：2015屆廣東省高一第一次階段考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知f(x)是定義在( 0，＋∞)上的增函數，

且f() = f(x)－f(y)  

（1）求f(1)的值;

（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2

 

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科目：高中數學 來源：2010年黑龍江省高一上學期期末考試數學試卷 題型：填空題

已知f (x)是定義在∪上的奇函數，當時，f (x)的圖象如圖所示，那么f (x)的值域是                   

 

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