Question

（本小題滿分12分）已知點F是拋物線C：的焦點，S是拋物線C在第一象限內的點，且|SF|=. 

（Ⅰ）求點S的坐標；

（Ⅱ）以S為圓心的動圓與軸分別交于兩點A、B，延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點；

①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；

②延長NM交軸于點E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）(1,1)（Ⅱ）①②

【解析】

試題分析：解：（1）設(＞0)，由已知得F，則|SF|=，

∴=1，∴點S的坐標是(1,1)------------------------2分

（2）①設直線SA的方程為

由得

∴，∴。

由已知SA=SB，∴直線SB的斜率為，∴，

∴--------------7分

②設E(t,0)，∵|EM|=|NE|，∴，

∴ ，則∴--------------------------8分

∴直線SA的方程為，則，同理 

∴---------------------------12分

考點：拋物線的性質；直線的斜率公式；向量的坐標運算；余弦定理。

點評：本題第一小題用了拋物線的性質，這樣使問題簡化，當然，也可以由兩點距離公式來求。第二小題關鍵要從題意找出直線SA與SB的關系。