Question

【題目】在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且an ， bn ， an+1成等差數列，bn ， an+1 ， bn+1成等比數列（n∈N*）
（1）求a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；由此歸納出{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論．
（2）若cn=log2（），Sn=c1+c2+…+cn ， 試問是否存在正整數m，使Sm≥5，若存在，求最小的正整數m．

Answer 1

【答案】解：（1）由條件可得，2bn=an+an+1 ， a2n+1=bnbn+1 ，
則由a1=2，b1=4，可得，
a2=6，a3=12，a4=20；
b2=9，b3=16，b4=25；
猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2；
證明如下：
①當n=1時，結論成立；
②假設當n=k時成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2；
則當n=k+1時，
ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+2）（k+1），
bk+1=a2k+1÷bk=（k+2）2（k+1）2÷（k+1）2=（k+2）2；
故an=n（n+1），bn=（n+1）2對一切正整數n都成立．
（2）∵cn=log2（）=log2，
∴Sn=c1+c2+…+cn=log2+log2+…+log2=log2（n+1），
則Sm≥5可化為log2（m+1）≥5，
則m≥31，
故存在正整數m，且最小的正整數m為31．
【解析】（1）由題意，2bn=an+an+1 ， a2n+1=bnbn+1 ， 從而寫出a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；利用數學歸納法證明通項公式；
（2）由題意，cn=log2（）=log2 ， 化簡Sn=c1+c2+…+cn=log2+log2+…+log2=log2（n+1），從而求m．