Question

【題目】已知拋物線C1:x2=4y 的焦點F也是橢圓c2:的一個焦點， C1和C2的公共弦長為
（1）求 C2的方程；
（2）過點F 的直線 l與 C1相交于A與B兩點， 與C2相交于C ， D兩點，且與 同向
（�。┤� 求直線l的斜率；
（ⅱ）設 C1在點 A處的切線與 x軸的交點為M ，證明：直線l 繞點 F旋轉時， MFD總是鈍角三角形。

Answer 1

【答案】（1）
（2）(i),
(ii)見解析。
【解析】（1）根據已知條件可求得C2的焦點坐標為（0,1），再利用公共弦長為即可求解由C1：知其焦點F的坐標（0,1）因為F也是橢圓C2的一焦點，所以①又C1與C2的公共弦長為 ， C1與C2都關于y軸對稱，且C1的方程為由此易得C1與C2公共點的坐標為所以，②聯立①，②得a2=9,b2=8故C2的方程為
（2）（ⅰ）設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1,由得x2+16kx+64=0,根據條件可知 ， 從而可以建立關于k的方程，即可求解，如圖f因為與同向且所以 ， 從而,于是③，設直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1,由得而x1x2是這個方程的兩個根所以由得（9+8k）2+16kx-64=0而x3x4是這個方程的兩個根,所以⑤將④⑤帶入③得
, 即 , 所以 , 解得，k=

（ⅱ）根據條件可說明 ， 因此是銳角，從而是鈍角，即可得證由令y=0得即所以，而于是因此是銳角。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程和橢圓的參數方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：；橢圓的參數方程可表示為．