Question

（2012•威海一模）如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥側面AA₁C₁C，△AA₁C為等邊三角形，AB⊥BC且AB=BC，三棱錐B-AA₁C的體積為

9 3

8

．
（I）求證：AC⊥A₁B；
（II）求直線A₁C與平面BAA₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC中點為O，利用線面垂直的判定定理證明AC⊥平面BOA₁，即可證明AC⊥A₁B；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面A₁AB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值．

解答：（I）證明：取AC中點為O，
∵AB=BC，∴BO⊥AC
∵△AA₁C為等邊三角形，∴OA₁⊥AC
∵OA₁∩BO=O
∴AC⊥平面BOA₁，
∴AC⊥A₁B；
（II）解：設AC=a，則有

1

3

•

3

4

a2•

1

2

a=

9 3

8

，∴a=3
建立如圖所示的空間直角坐標系，則C（0，

3

2

，0），A1(

3 3

2

，0，0)，A(0，-

3

2

，0)，B(0，0，

3

2

)

A1C

=(-

3 3

2

，

3

2

，0)，

AB

=(0，

3

2

，

3

2

)，

AA1

=(

3 3

2

，

3

2

，0)

設平面A₁AB的法向量為

n

=（x，y，1），則由

n • AB =0 n • AA1 =0

可得

3 2 y+ 3 2 =0 3 3 2 x+ 3 2 y=0

，∴

x= 3 3 y=-1

，∴

n

=(

3

3

，-1，1)
∴cos＜

n

，

A1C

＞=

n • A1C

| n || A1C |

=-

21

7

∵直線A₁C與平面A₁AB所成角θ和向量

n

與

A1C

所成銳角互余，
∴直線A₁C與平面BAA₁所成角的正弦值為

21

7

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、直線與平面所成的角、三角函數等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．