Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的正視圖1是一個底邊長為4、腰長為3的等腰三角形，圖2、圖53分別是四棱錐P﹣ABCD的側視圖和俯視圖．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的側面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意，可知點P在平面ABCD上的正射影是線段CD的中點E，連接PE，

則PE⊥平面ABCD．

∵AD平面ABCD，

∴AD⊥PE．

∵AD⊥CD，CD∩PE=E，CD平面PCD，PE平面PCD，

∴AD⊥平面PCD．

∵PC平面PCD，

∴AD⊥PC．

（2）解：依題意，在等腰三角形PCD中，PC=PD=3，DE=EC=2，

在Rt△PED中， ，

過E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，

∵PE⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴AB⊥PE．

∵EF平面PEF，PE平面PEF，EF∩PE=E，

∴AB⊥平面PEF．

∵PF平面PEF，

∴AB⊥PF．

依題意得EF=AD=2．

在Rt△PEF中， ，

∴四棱錐P﹣ABCD的側面積

．

【解析】（1）根據三視圖形狀可得側面PDC⊥平面ABCD，結合矩形ABCD中AD⊥CD，由面面垂直的性質得AD⊥側面PDC．再根據線面垂直的性質，結合PC側面PDC可證出AD⊥PC；（2）過E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，分別求出側面積，即得四棱錐P﹣ABCD的側面積．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．