Question

已知函數f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．

(1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在x＝處切線的斜率；

(2)求函數f(x)的單調區間；

(3)設g(x)＝2^x，若對任意x₁∈(0，＋∞)，存在x₂∈[0,1]，使f(x₁)＜g(x₂)，

求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝1＋(x＞0)，f′()＝1＋2＝3.

故曲線y＝f(x)在x＝處切線的斜率為3.

(2)f′(x)＝a＋＝(x＞0)．

①當a≥0時，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0，

所以f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)；

②當a＜0時，由f′(x)＝0，得x＝－，

在區間上f′(x)＞0，在區間上f′(x)＜0.所以，函數f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

(3)由題可知，若對任意x₁∈(0，＋∞)，均存在x₂∈[0,1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，轉化為[f(x)]_max＜[g(x)]_max，而[g(x)]_max＝2.

由(2)知，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，值域為R，故不符合題意．(或者舉出反例：存在f(e³)＝ae³＋3＞2，故不符合題意．)

當a＜0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，

故f(x)的極大值即為最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.

所以，a的取值范圍為