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設G為△ABC的重心，
3
|BC|
GA
+2|CA|
GB
+2
3
|AB|
GC
=
0
，則
AB
•
BC
BC
•
AC
的值=
-
1
3
-
1
3
．
分析：欲求
AB
•
BC
BC
•
AC
的值，由于
AB
•
BC
BC
•
AC
=
-c•cosB
bcosC
，故須求出三角形的內角及邊的比值，設出三角形的三邊分別為a，b，c，根據由G為三角形的重心，根據中線的性質及向量的加法法則分別表示出
GA
，
GC
和
GB
，代入化簡后的式子中，然后又根據
CA
等于
CB
加
BA
，把上式進行化簡，最后得到關于
BA
和
BC
的關系式，由
BA
和
BC
為非零向量，得到兩向量前的系數等于0，列出關于a，b及c的方程組，不妨令b=
3
，，即可求出a與b的值，然后根據余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，同理求得cosC即得．
解答：解：因為
3
|BC|
GA
+2|CA|
GB
+2
3
|AB|
GC
=
0

設三角形的邊長順次為a，b，c，根據正弦定理得：
3
a
GA
+2b
GB
+2
3
c
GC
=
0
，
由點G為三角形的重心，根據中線的性質及向量加法法則得：
3
GA
=
BA
+
CA
，3
GB
=
CB
+
AB
，3
GC
=
AC
+
BC
，
代入上式得：
3
a（
BA
+
CA
）+2b（
AB
+
CB
）+2
3
c（
AC
+
BC
）=
0
，
又
CA
=
CB
+
BA
，上式可化為：
3
a（2
BA
+
CB
）+2b（
AB
+
CB
）+2
3
c（-
BA
+2
BC
）=
0
，
即（2
3
a-2b-2
3
c）
BA
+（-
3
a-2b+4
3
c）
BC
=
0
，
則有
2
3
a-2b-2
3
c=0① 
-
3
a-2b+4
3
c=0② 
，令b=
3
，解得：
a=2
c=1
，
所以cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
22+12-
3
2
2×2×1
=
1
2
，
cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
22+
3
2-12
2×2×
3
=
3
2
，
∴
AB
•
BC
BC
•
AC
=
|
AB
|•
|BC
|cos(π-B)
|
BC
|•|
AC
|cosC
=
-c•cosB
bcosC
=
-1•
1
2
3
×
3
2
=-
1
3

故答案為：-
1
3
點評：此題考查學生靈活運用向量在幾何中的應用、余弦定理化簡求值，掌握向量的加法法則及中線的性質，是一道中檔題．
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設G為△ABC的重心，O為平面ABC外任意一點，若
OA
+
OB
+
OC
=m
OG
，則m=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設G為△ABC的重心，過G的直線l分別交△ABC的兩邊AB、AC于P、Q，已知
AP
=λ
AB
，
AQ
=μ
AC
，△ABC和△APQ的面積分別為S、T．
（1）求證：
1
λ
+
1
μ
=3；
（2）求
T
S
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設G為△ABC的重心，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若35a
GA
+21b
GB
+15c
GC
=0，則sin∠ACB=
3
2
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設G為△ABC的重心，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若35a
GA
+21b
GB+
15c
GC
=0，則sin∠ABC
5
3
14
5
3
14
．

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