Question

已知函數，其中是自然對數的底數，．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若，求的單調區間；
（3）若，函數的圖象與函數的圖象有3個不同的交點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為；當時，的單調遞減區間為；當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為；（3）.

試題分析：(1) 利用導數的幾何意義求切線的斜率，再求切點坐標，最后根據點斜式直線方程求切線方程；(2)利用導數的正負分析原函數的單調性，注意在解不等式時需要對參數的范圍進行討論；(3)根據單調性求函數的極值，根據其圖像交點的個數確定兩個函數極值的大小關系，然后解對應的不等式.
試題解析：（1）因為，
所以，
所以曲線在點處的切線斜率為.
又因為，
所以所求切線方程為，即．         2分
（2），
①若，當或時，；當時，.
所以的單調遞減區間為，；
單調遞增區間為.                    4分
②若，，
所以的單調遞減區間為.                    5分
③若，當或時，；當時，.
所以的單調遞減區間為，；
單調遞增區間為.                 7分
（3）由（2）知函數在上單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得極小值，在處取得極大值.  8分
由，得.
當或時，；當時，.
所以在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增.
故在處取得極大值，在處取得極小值. 10分
因為函數與函數的圖象有3個不同的交點，
所以，即. 所以.        12分