Question

已知集合M是由滿足下列性質的函數f（x）的全體所組成的集合：在定義域內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函數f（x）=

1

x

是否屬于M，并說明理由；
（2）設函數f（x）=lg

a

x2+1

屬于M，求實數a的取值范圍．

Answer 1

：（1）若f（x）=

1

x

屬于M，則存在x₀∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，
則x₀²+x₀+1=0，因為方程x₀²+x₀+1=0無解，所以f（x）=

1

x

不屬于M
（2）由f（x）=lg

a

x2+1

屬于M知，有lg

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

有解，
即（a-2）x²+2ax+2（a-1）=0有解；
當a=2時，x=-

1

2

；
當a≠2時，由△≥0，得a²-6a+4≤0，得a∈[3-

5

，2]∪（2，3+

5

]，
又因為對數的真數大于0，
所以a＞0
所以a∈[3-

5

，，3+

5

]