Question

若對任意長方體A，都存在一個與A等高的長方體B，使得B與A的側面積之比和體積之比都等于常數K，則K的取值范圍是（　�。�

• A．（0，1]
• B．（0，

  1

  2

  ]
• C．[1，+∞）
• D．[

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先畫出圖形，根據已知條件分別表示出其側面積之比與體積之比，進而利用基本不等式的性質即可得出答案．

解答：解：如圖所示的兩個長方體A與B：
設A、B兩個長方體的長、寬、高分別為：1、x、y，1、a、b．
則S_A側=2（x+y），V_A=xy；S_B側=2（a+b），V_B=ab．
由題意B與A的側面積之比和體積之比都等于常數K，
∴

a+b

x+y

=k，

ab

xy

=k．
由a+b=k（x+y）≥2

ab

=2

kxy

，
∴k²（x+y）²≥4kxy，∴k≥

4xy

(x+y)2

恒成立．
而

4xy

(x+y)2

≤

4xy

4xy

=1，故k≥1．
故選C．

點評：正確表示出側面積之比與體積之比及熟練應用基本不等式的性質是解題的關鍵．