Question

【題目】已知，二次函數，關于的不等式的解集為，其中為非零常數，設．

（1）求的值；

（2）若存在一條與軸垂直的直線和函數的圖象相切，且切點的橫坐標滿足，求實數的取值范圍；

（3）當實數取何值時，函數存在極值？并求出相應的極值點．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）若時，，函數極小值點為；若時，當時，函數極小值點為，極大值點為（其中，）

【解析】

試題分析：（1）首先用向量的數量積公式代入到的表達式中，然后根據所給出的不等式解集即可求得的值；（2）若存在這樣的直線，則說明函數的導數可為0，從而對函數求導后解得切點橫坐標與的關系，根據不等式得到的范圍，進而求得實數的范圍；（3）當函數存在極值時，其導數必為零點，因此先對函數求導，由于解析式中含實數，由此對導數進行分類討論，從而可求得極極值以及極值點．

試題解析：（1）∵，

∴二次函數，

關于的不等式的解集為，

也就是不等式的解集為，

∴和 是方程的兩個根，

由韋達定理得：，

∴

（2）由（1）得，

∴，

∵存在一條與軸垂直的直線和的圖象相切，且切點的橫坐標為，

∴．

∵，∴．

令，則，

當時，，

∴在上為增函數，

從而，∴

（3）的定義域為，

∴

方程 （*）的判別式

．

①若時，，方程（*）的兩個實根為，或，

則時，；時，，

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，

此時函數存在極小值，極小值點為可取任意實數，

②若時，當，即時，恒成立，在上為增函數，

此時在上沒有極值

下面只需考慮的情況，由，得或，

當，則，

故時，，

∴函數在上單調遞增，

∴函數沒有極值．

當時，，

則時，時，時，，

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時函數存在極大值和極小值，極小值點，有極大值點．

綜上所述，若時，可取任意實數，此時函數有極小值且極小值點為；若時，當時，函數有極大值和極小值，此時極小值點為，極大值點為（其中）