Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,AB=2,AA₁=4,E為BC的中點,F為直線CC₁上的動點,設=λ.

(1)當λ=3時,求EF與平面ABCD所成的角;

(2)當λ=1時,求二面角FDEC的大小(用反三角函數表示);

(3)當λ為何值時,有BD₁⊥EF?

Answer 1

解法一:(1)當λ=3時,CF=1.                                     

連結EF,EC為EF在平面ABCD上的射影,

∴∠FEC中就是EF與平面ABCD所成的角.                     

在Rt△FEC中,FC=EC=1,

∴∠FEC=45°.

∴EF與平面ABCD所成的角為45°.                             

(2)當λ=1時,CF=2.

過點C在平面ABCD中作CG⊥DE,垂足為G,連結FG,則FG⊥DE.

∴∠FGC就是二面角FDEC的平面角.                          

在Rt△FGC中,CG=,∴tan∠FGC=,                    

即二面角FDEC的大小為arctan.                           

(3)連結BC₁,BC₁為BD₁在平面B₁C₁CB上的射影.

要使BD₁⊥EF,只要EF⊥BC₁.                                 

過E點在平面B₁C₁CB上作EH⊥BC₁,垂足為H.HE與C₁C的延長線交于F.

此時△ECF∽△C₁CB,

∴=.∴CF=.                                     

∴當λ=-9時,BD₁⊥EF.                                       

解法二:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,

則D(0,0,0),E(1,2,0).

當λ=3時,F(0,2,1),                                          

=(-1,0,1).

設平面ABCD的法向量為n,

則n=(0,0,1).

設與n的夾角為θ,

則cosθ==.                              

∴EF與平面ABCD所成的角為45°.                         

(2)當λ=1時,F(0,2,2),=(-1,0,2),=(0,2,2).            

設平面DEF的法向量為m,則m·=0,m·=0,

∴m=(2,-1,1).                                              

∴cos〈m,n〉==.                               

∴二面角FDEC的大小為arccos.                         

(3)顯然D₁(0,0,4),B(2,2,0),設F(0,2,t),                          

則=(-1,0,t),=(-2,-2,4).                           

要使EF⊥BD₁,只要·=0,2+4t=0,t=-.             

∴λ=-9.