Question

設曲線與軸、軸、直線圍成的封閉圖形的面積為，若在上單調遞減，則實數的取值范圍是     。

Answer 1

試題分析：由題意，先用定積分求出b，再由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，利用其導數在[1，+∞）上恒小于0建立不等式求出實數k的取值范圍．根據題意可知，函數在給定區間上的定積分,∴g（x）=2lnx-x²-kx∴g′（x）=-2x-k,∵g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，∴g′（x）=-2x-k＜0在[1，+∞）上恒成立,即k＞-2x在[1，+∞）上恒成立,∵-2x在[1，+∞）上遞減，∴-2x≤0,∴k≥0,由此知實數k的取值范圍是[0，+∞）,故答案為：[0，+∞）．
點評：本題考查定積分在求面積中的應用，解題的關鍵是利用定積分求出b，再利用導數與單調性的關系將函數遞減轉化為導數值恒負，由此不等式恒成立求出參數的范圍，本題綜合性很強，需要多次轉化變形，運算量較大，解題時一定要注意變形正確，運算嚴謹，避免因變形，運算出錯．