Question

做一個體積為32m³，高為2m的長方體紙盒
（1）若用x表示長方體底面一邊的長，S表示長方體的側面積，試寫出S與x間的函數關系式；
（2）當x取什么值時，做一個這樣的長方體紙盒用紙最少？

Answer 1

分析：（1）利用長方體的體積計算公式算出底面積，從而求出底面的另一邊長是解決本題的關鍵，利用側面積的計算公式表述出S與x間的函數關系式，并注明該函數的定義域；
（2）將用紙最少轉化為求側面積的最小值問題，利用導數工具確定該函數的最小值，注意函數單調性的說明．

解答：解：（1）由題意知，該長方體的底面積為

32

2

=16(m2)，故它的底面另一邊長為

16

x

(m)
s=2(2x+

32

x

)=4(x+

16

x

) (x＞0)．
（2）要使用紙最少，即是使長方體的表面積最小，也就是求S的最小值．
由于s′=4(1-

16

x2

)；，令S′=0，解得x₁=4，x₂=-4（舍去）．
當0＜x＜4時，S′＜0，即該函數在（0，4）單調遞減，；當x＞4時，S′＞0，即該函數在（4，+∞）單調遞增．
所以，當x=4時，S取最小值，即此時用紙最少．
答：當x=4時，做一個這樣的長方體紙盒用紙最少．

點評：本題考查函數的應用問題，考查函數的模型問題，考查學生的函數模型意識解決相關的應用問題，根據構建的函數模型選擇適當的方法求函數的最值問題，實現該優化問題的求解．考查學生規范解題的習慣．