Question

設函數滿足且．

（1）求證，并求的取值范圍；

（2）證明函數在內至少有一個零點；

（3）設是函數的兩個零點，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析，（3）.

【解析】

試題分析：（1）由等量關系消去C是解題思路，揭示a為正數是解題關鍵，本題是典型題，實質是三個實數和為零，則最大的數必為正數，最小的數必為負數，中間的數不確定，通常被消去，（2）證明區間內有解首選零點存在定理.連續性不是高中數學考核的知識點，重點考核的是區間端點函數值的符號.要確定區間端點函數值的符號，需恰當選擇區間端點，這是應用零點存在定理的難點，本題符號確定，但符號不確定．由于兩者符號與有關，所以需要對進行討論，（3）要求的取值范圍，需先運用韋達定理建立函數解析式（二次函數），再利用（1）的范圍（定義域），求二次函數值域.本題思路簡單，但不能忽視定義域在解題中作用.

試題解析：（1）由題意得，

又， 2分

由，得

，，得 5分

（2），

又，

若則，在上有零點；

若則，在上有零點

函數在內至少有一個零點 9分

（3）

， 13分

考點：二次函數值域，零點存在定理.