Question

將函數y=f（x）=

1

2

（sinx+cosx）²-

3

2

的圖象按向量

a

=（

π

4

，1）平移得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數y=g（x）的解析式；
（2）已知A（-1，2），B（1，2）．問在函數y=g（x）的圖象上是否存在一點P，使得

AP

•

BP

=

5

4

？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）化簡得，f（x）=

1

2

sin2x-1，利用向量的平移可求函數y=g（x）的解析式；
（2）利用向量數量積的坐標運算，可求得

AP

•

BP

=x²+(

1

2

cos2x+2)2-1，分別對x²≥0，(

1

2

cos2x+2)2≥

9

4

的等號成立的討論，即可判斷y=g（x）的圖象上，使得

AP

•

BP

=

5

4

的點P是否存在．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

（1+sin2x）-

3

2

=

1

2

sin2x-1，
∵

a

=（

π

4

，1），
∴g（x）=

1

2

sin2（x-

π

4

）=-

1

2

cos2x…4分
（2）設P（x，-

1

2

cos2x），
則

AP

=（x+1，-

1

2

cos2x-2），

BP

=（x-1，-

1

2

cos2x-2）…6分
∴

AP

•

BP

=（x²-1）+(

1

2

cos2x+2)2=x²+(

1

2

cos2x+2)2-1…8分
∵x²≥0，等號當且僅當x=0時取得，
(

1

2

cos2x+2)2≥

9

4

等號當且僅當cos2x=-1，即x=kπ-

π

2

（k∈Z）時取得，
∴x²+(

1

2

cos2x+2)2＞

9

4

．
∴

AP

•

BP

＞

5

4

．
故在函數y=g（x）的圖象上，使得

AP

•

BP

=

5

4

的點P不存在…12分

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查平面向量數量積的坐標運算，考查綜合分析與推理運算的能力，屬于難題．