Question

如圖所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.
(1)求證:AE∥平面DCF;
(2)當AB的長為何值時,二面角A—EF—C的大小為60°?

Answer 1

(1)證明略 (2) 當AB為時，二面角A—EF—C的大小為60°

方法一 （1） 過點E作EG⊥CF交CF于G，

連接DG.可得四邊形BCGE為矩形，
又四邊形ABCD為矩形，
所以AD   EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，
故AE∥DG.
因為AE平面DCF，DG平面DCF，
所以AE∥平面DCF.
（2） 過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH.
由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，
得AB⊥平面BEFC，
從而AH⊥EF，所以∠AHB為二面角A—EF—C的平面角.
在Rt△EFG中，因為EG=AD=，EF=2，
所以∠CFE=60°,FG=1,
又因為CE⊥EF,所以CF=4,
從而BE=CG=3.
于是BH=BE·sin∠BEH=.
因為AB=BH·tan∠AHB=×=，
所以當AB為時，二面角A—EF—C的大小為60°.
方法二 如圖所示,以點C為坐標原點,以CB、CF和CD所在直線分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系C—xyz.

設AB=a，BE=b，CF=c，
則C（0，0，0），A（，0，a），
B（，0，0），E（，b，0），F（0，c，0）.
（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），
所以·=0，·=0，從而CB⊥AE，CB⊥BE.
AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.
因為CB⊥平面DCF，
所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.
故AE∥平面DCF.
（2）因為=（-，c-b，0），=（，b，0）.
·=0，||=2，
所以 解得
所以E（，3，0），F（0，4，0）.
設n=(1,y,z)與平面AEF垂直，
則n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.
又因為BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），
所以|cos〈n, 〉|=
解得a=.
所以當AB為時，二面角A—EF—C的大小為60°.