Question

【題目】如圖,在直三棱柱中,,是的中點,.

（1）求證：平面；

（2）若異面直線和所成角為,求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

(1) 連交于點,連.再根據中位線證明即可.

(2) 根據(1)可知或其補角為異面直線和所成角,再判斷可得為等邊三角形,即可求得,再根據線面垂直的判定與性質可得平面,繼而求得四棱錐的體積即可.

（1）證明：如圖,連交于點,連.

因為直三棱柱中,四邊形是矩形,故點是中點,

又是的中點,故,

又平面,平面,故平面.

（2）解：由（1）知,又,故或其補角為異面直線和所成角.

設,則,,,故為等腰三角形,故,

故為等邊三角形,則有,得到.

故為等腰直角三角形,故,又平面,平面,

故,又,故平面,

又梯形的面積,,

則四棱錐的體積.