Question

某電路如圖所示,在某段時間內,開關A、B、C、D能接通的概率都是p.

(1)計算這段時間內電燈不亮的概率f(p).

(2)f(p)在p∈(0,1)內是否存在最大值?若存在,請求出;若不存在,請說明理由.

(文)籃球賽中,甲、乙兩人在三分線處投球命中的概率分別為與.

(1)甲、乙兩人在三分線處各投球一次,求這兩次投球中恰好命中一次的概率;

(2)甲、乙兩人在三分線處各投球兩次,求這四次投球中至少一次命中的概率.

Answer 1

答案：(理)(1)解：用A、B、C、D分別表示事件:開關A、B、C、D接通,

則P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=p.設B、C與D的并聯電路接通為事件E,則

P(E)=1-(1-p)(1-p²)=p+p²-p³,

∴電燈亮的概率P(AE)=P(A)·P(E)=p²+p³-p⁴.

從而電燈不亮的概率為f(p)=1-P(AE)=1+p⁴-p³-p².

(2)解法一:f′(p)=4p³-3p²-2p,9分

當0＜p＜1時,f′(p)=4p［(p)²］＜0,

∴f(p)在(0,1)內無最大值.

解法二:令f′(p)=4p³-3p²-2p=0,得p=0或p=.

∵0＜p＜1,又,

∴f′(p)=0在(0,1)內無解,

從而f(p)在(0,1)內無最大值.

(文)(1)依題意,設“甲投一次命中”為事件A,“乙投一次命中”為事件B,則P(A)=,P(B)=,P()=,P()=,

∴P()=P()+P()=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.

(2)事件“甲、乙兩人在三分線處各投球兩次無一次命中”的概率P₁=()²×()²=,

∴甲、乙兩人在三分線處各投球兩次至少有一次命中的概率為P=1-P₁=1-=.