Question

過直線y=x上的一點作圓x²+（y-4）²=2的兩條切線l₁，l₂，當l₁與l₂關于y=x對稱時，l₁與l₂的夾角為

60°

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，由過直線y=x上點A作圓B的兩條切線關于y=x對稱，得到BA與y=x垂直，且∠BAD=∠BAC，根據切線性質得到∠BCA為直角，然后利用點直線的距離公式求出圓心B到直線y=x的距離即為|AB|，而|BC|為圓的半徑長，根據一直角邊等于斜邊的一半，這條直角邊所對的角為30°，得到∠BAD=∠BAC=30°，進而求出∠CAD的度數，即為兩切線的夾角．

解答：解：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
由圓的方程得到圓心B（0，4），圓的半徑r=|BC|=|BD|=

2

，
根據兩條切線關于y=x對稱，得到BA⊥直線y=x，
所以|BA|=

|0-4|

2

=2

2

，
又直線AC和直線AD都為圓B的切線，切點分別為C和D，
所以BC⊥AC，BD⊥AD，即∠BCA=∠BDA=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，BC=BD=

2

，AB=2

2

，
所以∠BAD=∠BAC=30°，
則∠CAD=60°，即兩切線的夾角為60°．
故答案為：60°

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直角三角形的性質，切線的性質以及點到直線的距離公式．要求學生利用數形結合的思想，借助圖形，充分利用對稱性質來解決問題．