Question

定義在R上的奇函數y=f（x）為減函數，f(sin(

π

2

-θ)+mcosθ)+f(2-2m)＞0對θ∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：本題是利用函數的單調性將抽象不等式變為三角不等式，再由三角函數的有界性求參數m的范圍，本題中為了利用函數的單調性轉化不等式需要根據函數的奇偶性將原不等式變為f(sin(

π

2

-θ)+mcosθ)＞f(-2+2m)，利用單調性轉化，即可求得結果．

解答：解：∵函數f（x）為奇函數又是減函數，
f[sin(

π

2

-θ)+mcosθ]+f(2-2m)＞0恒成立
?f[sin(

π

2

-θ)+mcosθ]＞f(-2+2m)
?sin(

π

2

-θ)+mcosθ＜2m-2即cosθ+mcosθ＜2m-2
整理得：m＞

2+cosθ

2-cosθ

恒成立，
設y=

2+cosθ

2-cosθ

，
下面只需求y=

2+cosθ

2-cosθ

的最大值，
由于y(2-cosθ)=2+cosθ，cosθ=

2y-2

y+1

⇒-1≤

2y-2

y+1

≤1，

1

3

≤y≤3
可知y的最大值=3，
∴m＞3
∴實數m的取值范圍為（3，+∞）．

點評：本題考點是函數的奇偶性與單調性的綜合，考查綜合利用函數的奇偶性與單調性研究不等式恒成立時參數的取值范圍，關鍵是利用函數的性質將不等式恒成立求參數的問題轉化為求函數最值的問題．屬中檔題．