Question

（12分）已知函數．

（1）當a=1時，證明函數只有一個零點；

（2）若函數在區間（1，+∞）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解析：（1）當a=1時，，其定義域是，

                               -------1分

     令，即，解得或．

    ∵x>0，舍去．

       當時，；當時，．

∴函數在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減-------4分

     ∴當x=1時，函數取得最大值，其值為．

當時，，即．

     ∴函數只有一個零點．                                              --------------------6分

（2）因為其定義域為，

所以----------7分

①當a=0時，在區間上為增函數，不合題意----8分

②當a>0時，等價于，即．

此時的單調遞減區間為．

依題意，得解之得                ---------------------10分

③當a<0時，等價于，即?

此時的單調遞減區間為， 得

綜上，實數a的取值范圍是         -----------------12分