Question

如圖，在四棱錐中，丄平面，丄，丄，，，.
（Ⅰ）證明：丄；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求三棱錐外接球的體積.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等；（2）作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內找一點作另一個平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；（3）利用棱錐的體積公式求體積，注意轉化為特殊幾何體，如長方體、正方體等.
試題解析：解：（Ⅰ）.................4分
（Ⅱ）過作交于點，連接，則為所求角
在三角形中，........................8分
（Ⅲ）求三棱錐外接球即為以為棱的長方體的外接球，長方體的對角線為球的直徑
...............12分

考點：（1）直線與直線垂直；（2）二面角的求法；（3）求外接球的體積.