Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤）在（0，5π）內只取到一個最
大值和一個最小值，且當x=π時，函數取到最大值2，當x=4π時，函數取到最小值-2
（1）求函數解析式；
（2）求函數的單調遞增區間；
（3）是否存在實數m使得不等式f（）＞f（）成立，若存在，求出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數的最值求得A=2，由周期求得ω=．再由當x=π時，函數取到最大值2，并結合0≤φ≤，可得 φ=，從而求得函數的解析式．
（2）令2kπ-≤+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．
（3）由于 ∈[0，2]，∈[0，2]．要使不等式f（）＞f（）成立，需＞
≥0，解此不等式求得m的范圍．
解答：解：（1）由題意可得A=2，半個周期為 •=4π-π=3π，∴ω=．再由2sin（•π+φ）=2，可得sin（+φ）=1，
結合0≤φ≤，可得 φ=，故 ．
（2）令2kπ-≤+≤2kπ+，k∈z，可得 6kπ-2π≤x≤6kπ+π，故函數的增區間為[6kπ-2π，6kπ+π]（k∈Z）．
（3）由于-m²+2m+3=-（m-1）²+4≤4，0≤-m²+4≤4，∴∈[0，2]，∈[0，2]．
要使不等式f（）＞f（）成立，需＞≥0，
解得 ，故m的范圍是 （，2]．
點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，求函數y=Asin（ωx+φ）的單調區間，函數的單調性的應用，屬于中檔題．