Question

在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C：

x=cosθ y=-1+sinθ

（1）判斷曲線C的形狀？并寫出曲線C與y軸交點的極坐標．
（2）若曲線C與直線x+y+a=0有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把參數方程中的y=-1+sinθ移向，得到y+1=sinθ，平方作和即可得到圓的普通方程，并得到圓心坐標和半徑，求出與y軸的交點為（0，0）、（0，-2），兩點的極徑分別為0，2，極角分別為0，

3π

2

；
（2）由圓心到直線的距離小于等于半徑求解a的取值范圍．

解答：解：（1）把曲線方程 

x=cosθ y=-1+sinθ

化為普通方程，得x²+（y+1）²=1，
可知曲線C是以（0，-1）為圓心，半徑為1的圓．
它與y軸的交點為（0，0）、（0，-2）化為極坐標為（0，0）、（2，

3π

2

）；
（2）解：∵

x=cosθ y=-1+sinθ

，∴x²+（y+1）²=1．
由圓與直線有公共點，得d=

|0-1+a|

2

≤1，
解得1-

2

≤a≤1+

2

．
∴實數a的取值范圍為[1-

2

，1+

2

]．

點評：本題考查了參數方程化普通方程，考查了點的直角坐標化極坐標，訓練了由圓心到直線的距離判斷圓與直線的位置關系，是中檔題．