Question

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點.

（1）證明：平面；

（2）求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由題可知，根據三角形的中位線的性質，得出，根據矩形的性質得出，所以，再利用線面平行的判定定理即可證出平面；

（2）由于平面平面，根據面面垂直的性質，得出平面，從而得出到平面的距離為，結合棱錐的體積公式，即可求得結果.

解：（1）∵，分別為，的中點，

∴，

∵四邊形是矩形，∴，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）取，的中點，，連接，，，，則，

由于為三棱柱，為四棱錐，

∵平面平面，∴平面，

由已知可求得，

∴到平面的距離為，

因為四邊形是矩形，，，

，

設幾何體的體積為，

則，

∴，

即：.