Question

已知α為銳角，且，函數，數列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，，BC=2，求△ABC的面積
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數公式二倍角公式，兩角和正弦公式分別求出tan2α，sin（2α+）的值，代入解析式即可求得函數f（x）的表達式．
（2）利用正弦定理求得AB，再用S△ABC=×AB×BC×sinB計算可得面積大�。�
（3）由a_n+1=2a_n+1，先轉化構造出數列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列．求出數列{a_n}的通項，再去求和．
解答：解：（1）
∴=
=（分子分母同除以cos²α）
==1
∴f（x）=2x+1
（2）由（1）得∠A=2α=，而，
根據正弦定理易AB===，

S△ABC=×AB×BC×sinB==
（3）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1∴數列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列．
可得a_n+1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，
∴
點評：本題考查函數與三角、數列的綜合．注意考查了三角函數公式、正弦定理、數列求和．須具有較強的分析解決問題，計算，轉化的思想與能力．是難題．