Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為，(為參數)，直線的普通方程為，設與的交點為，當變化時，記點的軌跡為曲線. 在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）設點在上，點在上，若直線與的夾角為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）將直線的參數方程轉化為普通方程，聯立的方程并消去，再根據直線斜率存在且不為零，即可得到曲線的普通方程；

（2）先求出直線的普通方程，點到直線的距離為，由題意可得，求出到直線的距離的最大值，即可求出的最大值.

（1）直線可化為：，代入，

消去可得：，

整理得：；

由直線斜率存在且不為零，則，

曲線的普通方程為：.

（2）由，得，

所以直線的普通方程為：，

設點到直線的距離為，

由與的夾角為，可得，

求的最大值可轉化為點到直線的距離的最大值，

的最大值即圓心到直線的距離加上半徑，

所以，

即.