Question

已知數列{a_n}的前n項和，數列{b_n}滿足．
（1）求數列{a_n}的通項公式，并說明{a_n}是否為等比數列；
（2）求數列的前n項和前T_n；
（3）若-對任意的n∈N^*恒成立，求t的最小正整數值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減可得數列通項，利用等比數列的定義可得結論；
（2）確定數列的通項，利用錯位相減法求數列的和；
（3）確定b_n的最小值為b₂=b₃=，從而將不等式轉化為t的不等式，即可求得結論．
解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=3×1-1=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=
∴
∵n=1時，a₁=S₁=3×1-1=2不滿足
∴{a_n}不是等比數列；
（2）∵=，
∴=
∴數列的前n項和前T_n=
∴
兩式相減可得=
∴T_n=
（3）由（2）有b_n+1-b_n==
∴n≤2時，有b_n+1-b_n≤0；n＞2時，b_n+1-b_n＞0
∴b_n的最小值為b₂=b₃=
∴-等價于-
∴t²-2t-3＞0
∴t＞3或t＜-1
∴t的最小正整數值是4．
點評：本題考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，考查錯位相減法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．