Question

【題目】如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．

（1）證明：DE⊥平面ACD；
（2）求二面角B﹣AD﹣E的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC= ，

由AC= ，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，

所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；

（2）解：作BF⊥AD，與AD交于點F，過點F作FG∥DE，與AE交于點G，連接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，則FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，從而BD⊥AB，

由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．

在Rt△ACD中，由DC=2，AC= ，得AD= ；

在Rt△AED中，由ED=1，AD= 得AE= ；

在Rt△ABD中，由BD= ，AB=2，AD= 得BF= ，AF= AD，從而GF= ，

在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分別可得cos∠BAE= ，BG= ．

在△BFG中，cos∠BFG= = ，

所以，∠BFG= ，二面角B﹣AD﹣E的大小為 ．

【解析】（1）依題意，易證AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；（2）作BF⊥AD，與AD交于點F，過點F作FG∥DE，與AE交于點G，連接BG，由（1）知DE⊥AD，則FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用題中的數據，解三角形，可求得BF= ，AF= AD，從而GF= ，cos∠BFG= = ，從而可求得答案．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．