Question

設函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0）且f（1）=-

a

2

．
（1）求證：函數f（x）有兩個零點；
（2）設x₁，x₂是函數的兩個零點，求|x₁-x₂|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0）且f（1）=-

a

2

，可得 c=-

3a

2

-b，計算判別式△大于零，從而得到函數f（x）有兩個零點．
（2）設x₁，x₂是函數的兩個零點，則 x1+x2 = -

b

a

，x1•x2 = 

c

a

，化簡|x₁-x₂|等于

( b a +2)2+2

，從而求得|x₁-x₂|的取值范圍．

解答：解：（1）證明：由函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0）且f（1）=-

a

2

，可得 a+b+c=-

a

2

，即 c=-

3a

2

-b．
故判別式△=b²-4ac=b2-4a(-

3a

2

-b)=（b+2a）²+2a²＞0，函數f（x）有兩個零點．
（2）設x₁，x₂是函數的兩個零點，則 x1+x2 = -

b

a

，x1•x2 = 

c

a

，
∴|x₁-x₂|=

( x1+x2 )2-4 x1•x2

=

(- b a )2-4• c a

=

b2-4ac a2

=

b2+4ab+ 6a2 a2

=

( b a )2+4• b a +6

=

( b a +2)2+2

≥

2

．
故|x₁-x₂|的取值范圍為[

2

，+∞）．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，一元二次方程根與系數的關系，求二次函數的最值，屬于基礎題．