Question

已知函數．

⑴當時，①若的圖象與的圖象相切于點，求及的值；

②在上有解，求的范圍；

⑵當時，若在上恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）①，②時，；時， （2）時，；時，．.

【解析】

試題分析：（1）①本題為曲線切線問題,一般從設切點出發,利用切點在切線上.切點在曲線上,切點處的導數值為切線的斜率三個方面建立等量關系,從而解出，②方程有解問題，一般利用分離法，求函數值域解決.由于定義域不定，需討論極值為零的點是否在定義域內，這決定了單調區間,也決定了最值.（2）不等式恒成立問題，往往轉化為最值問題，這也需要分離變量. 即，在求函數值域時，有兩個難點，一是判斷極值為零的點，二是討論極值為零的點是否在內.

試題解析：⑴

①， 3分

②即與在上有交點…4分

，時在上遞增，；

時在上遞增，在上遞減且， ……7分

時，；時， 8分

⑵即，

即在上恒成立， 9分

令，

令，則為單調減函數，且， 12分

∴當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減， 13分

若，則在上單調遞增，

∴，∴；

若，則在上單調遞增，單調遞減，

∴，∴ 15分

∴時，；時，． 16分

考點：利用導數求切線，利用導數求最值.