Question

（2013•湖北）（選修4-4：坐標系與參數方程）
在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數方程為

x=acosφ y=bsinφ

(φ為參數，a＞b＞0）．在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l與圓O的極坐標方程分別為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

m(m為非零常數）與ρ=b．若直線l經過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為

6

3

．

Answer 1

分析：先根據極坐標與直角坐標的轉換關系將直線l的極坐標方程分別為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

m(m為非零常數）化成直角坐標方程，再利用直線l經過橢圓C的焦點，且與圓O相切，從而得到c=

2

b，又b²=a²-c²，消去b后得到關于a，c的等式，即可求出橢圓C的離心率．

解答：解：直線l的極坐標方程分別為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

m(m為非零常數）化成直角坐標方程為x+y-m=0，
它與x軸的交點坐標為（m，0），由題意知，（m，0）為橢圓的焦點，故|m|=c，
又直線l與圓O：ρ=b相切，∴

|-m|

2

=b，
從而c=

2

b，又b²=a²-c²，
∴c²=2（a²-c²），
∴3c²=2a²，∴

c

a

=

6

3

．
則橢圓C的離心率為

6

3

．
故答案為：

6

3

．

點評：本題考查了橢圓的離心率，考查了參數方程化成普通方程，點的極坐標和直角坐標的互化，考查提高學生分析問題的能力．