【題目】已知三棱錐
的展開圖如圖二，其中四邊形
為邊長等于
的正方形，
和
均為正三角形，在三棱錐中：
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
是
的中點，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）設
的中點為
，連接
，
，由邊長關系得
，從而可得
平面
，即可證明平面
平面；
（2）由（1）問可知平面，所以以
，
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立如圖示空間直角坐標系，利用向量法求出平面
和平面
的法向量，再利用二面角的公式即可得到二面角
的余弦值。
（1）設的中點為，連接，，
由題意，得
，
，
．
因為在
中，
，為的中點，所以
，
因為在
中，，
，
，
，所以
因為
，，
平面，所以平面，
平面
，所以平面平面
（2）由（1）問可知平面，所以，
，
，于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
，
，
設平面的法向量為
，則
由
得：
．令
，得
，
，即
．
設平面的法向量為
，由
得：
，令
，得
，
，即
．由圖可知，二面角的余弦值為．
應用題作業本系列答案
暑假作業暑假快樂練西安出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓錐
（其中
為頂點，
為底面圓心）的側面積與底面積的比是
，則圓錐與它的外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：極坐標與參數方程]
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
是參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若射線
與曲線交于，
兩點，與曲線交于，
兩點，求
取最大值時
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】時值金秋十月，正是秋高氣爽，陽光明媚的美好時刻。復興中學一年一度的校運會正在密鑼緊鼓地籌備中，同學們也在熱切地期盼著，都想為校運會出一份力。小智同學則通過對學校有關部門的走訪，隨機地統計了過去許多年中的五個年份的校運會“參與”人數及相關數據，并進行分析，希望能為運動會組織者科學地安排提供參考。
附：①過去許多年來學校的學生數基本上穩定在3500人左右；②“參與”人數是指運動員和志愿者，其余同學均為“啦啦隊員”，不計入其中；③用數字1、2、3、4、5表示小智同學統計的五個年份的年份數，今年的年份數是6；
統計表（一）
年份數x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“參與”人數（y千人） | 1.9 | 2.3 | 2.0 | 2.5 | 2.8 |
統計表（二）
高一（3）（4）班參加羽毛球比賽的情況：
男生 | 女生 | 小計 | |
參加（人數） | 26 | b | 50 |
不參加（人數） | c | 20 | |
小計 | 44 | 100 |
（1）請你與小智同學一起根據統計表（一）所給的數據，求出“參與”人數y關于年份數x的線性回歸方程
，并預估今年的校運會的“參與”人數；
（2）學校命名“參與”人數占總人數的百分之八十及以上的年份為“體育活躍年”．如果該校每屆校運會的“參與”人數是互不影響的，且假定小智同學對今年校運會的“參與”人數的預估是正確的，并以這6個年份中的“體育活躍年”所占的比例作為任意一年是“體育活躍年”的概率。現從過去許多年中隨機抽取9年來研究，記這9年中“體活躍年”的個數為隨機變量
，試求隨機變量
的分布列、期望
和方差
；
（3）根據統計表（二），請問：你能否有超過60%的把握認為“羽毛球運動”與“性別”有關？
參考公式和數據一：
，
，
，
參考公式二：
，其中
．
參考數據：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線
：
，（
為參數），將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的
，縱坐標縮短為原來的
后得到曲線
，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為
。
（1）求曲線的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線交于不同的兩點A，B，點M為拋物線
的焦點，求
的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入
種黃瓜的年收入
與投入
（單位：萬元）滿足
.設甲大棚的投入為
（單位：萬元），每年兩個大棚的總收益為
（單位：萬元）
（1）求
的值；
（2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益
最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
，
是橢圓與
軸的兩個交點，
為橢圓C的上頂點，設直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，
．
（1）求橢圓
的離心率；
（2）設直線
與軸交于點
，交橢圓于
、
兩點，且滿足
，當
的面積最大時，求橢圓的方程．
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