Question

設函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，則下列四個命題：①函數y=f（x）是以4為周期的周期函數；②當x∈[1，3]時，f（x）=（2-x）³； ③函數y=f（x）的圖象關于x=1對稱；④函數y=f（x）的圖象關于（2，0）對稱．其中正確的命題是     ．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，結合各個選項，逐一檢驗答案，將條件等價轉化變形，綜合考慮函數的周期性、對稱性、解析式，分析可得答案．
解答：解：∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），∴函數y=f（x）是以4為周期的周期函數，
故①正確．
當x∈[1，3]時，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）³=-f（x），
∴f（x）=（2-x）³，故②正確．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），∴函數y=f（x）的圖象關于x=1對稱，
故③正確．
∵當x∈[1，3]時，f（x）=（2-x）³，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函數y=f（x）的圖象關于（2，0）對稱．
故正確的命題有  ①②③④，
故答案選  ①②③④．
點評：本題考查函數的奇偶性和周期性，以及運用函數的奇偶性和周期性求函數解析式及函數值、函數圖象的對稱性．