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已知點A（2，0），B（1，4），M、N是y軸上的動點，且滿足MN=4，△AMN的外心P在y軸上的射影為Q，則PQ+PB的最小值為
3
3
．
分析：先求出三角形AMN外心P的軌跡，然后由拋物線的定義可知PF=PQ+1，根據PF+PB≥BF可求出PQ+PB的最小值．
解答：解：設點M（0，t），則N（0，t-4）
根據點P是△AMN的外心設P（x，t-2）
而PM2=PA2，則x2+4=（x-2）2+（t-2）2
∴x=
(t-2)2
4
，y=t-2，從而得到點P的軌跡為y2=4x，焦點為F（1，0）
由拋物線的定義可知PF=PQ+1
因為PF+PB≥BF=4
所以PF+PB=PQ+1+PB≥4
即PQ+PB≥3
故PQ+PB的最小值為3
故答案為：3
點評：本題主要考查了三角形外心的軌跡，以及拋物線的性質，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A（-2，0），B（2，0），若點P（x，y）在曲線
x2
16
+
y2
12
=1上，則|PA|+|PB|=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•朝陽區二模）在平面直角坐標系x0y中，已知點A（-
2
，0），B（
2
，0），E為動點，且直線EA與直線EB的斜率之積為-
1
2
．
（Ⅰ）求動點E的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設過點F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的兩點M，N．若點P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點P的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A（-2，0），B（2，0），如果直線3x-4y+m=0上有且只有一個點P使得 
PA
•
PB
=0，那么實數 m 等于（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知點A（-2，0），B (0，2
3
)，C（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，
π
2
]．
（1）若
AB
∥
OC
，求tanθ的值；
（2）設點D（1，0），求
AC
 •  
BD
的最大值；
（3）設點E（a，0），a∈R，將
OC
 •  
CE
表示成θ的函數，記其最小值為f（a），求f（a）的表達式，并求f（a）的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A（-2，0）、B（0，2），C是圓x2+y2=1上一個動點，則△ABC的面積的最小值為
2-
2
2-
2
．

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