Question

設函數f（x）=

ax-1

x+1

（a∈R）．
（1）當a=1時，求滿足f（x）＞2的x的集合
（2）求a的取值范圍，使f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞增函數．

Answer 1

分析：（1）將f（x）＞2化為f（x）-2＞0，通分后化為整式不等式去解．
（2）利用單調函數的定義，設0＜x₁＜x₂，a的取值使得f（x₂ ）-f（x₁ ）＞0恒成立即可．

解答：解：（1）當a=1時，即為

x-1

x+1

＞2?

x+3

x+1

＜0?-3＜x＜-1∴滿足f（x）＞2的x的集合為（-3，-1）
（2）設0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=

ax1-1

x1+1

-

ax2-1

x2+1

=

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

∵(x1+1)(x2+1)＞0，x1-x2＜0

，
∴使f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞增函數，a＞1．

點評：本題考查分式不等式解法、函數單調性的定義及應用，參數的取值范圍問題，考查轉化、計算、邏輯思維能力．