【題目】已知函數
，
為自然對數的底數.
(Ⅰ)討論
的單調性；
(Ⅱ)若函數
的圖象與直線
交于
兩點，線段
中點的橫坐標為
，證明：
(
為函數
的導函數)
【答案】(Ⅰ)詳見解析; (Ⅱ)詳見解析
【解析】
試題解析：(Ⅰ)由題可知，
然后再，分
，
，
三種情況，進行討論，由此即可求出結果.(Ⅱ)化簡可得
，可得
，當
時，
，
在
上單調遞增，與
軸不可能有兩個交點，故
.當
時，令
，則
；令
，則
.故
在
上單調遞增，在
上單調遞減.不妨設
，且
，要證
，需證
，即證
，又
，所以只需證
.即證：當
時， 
.然后再構造輔助函數，再利用導數，即可證明結果.
試題解析：解：(1)由題可知，
①當時，令
，則
∴
令
，則
∴
②當時，
③當時，令
，則
∴
令，則∴
綜上：①當時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增.當②
時，在
上單調遞增.
③當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
(2)∵
∴，當時，，在
上單調遞增，與軸不可能有兩個交點，故.
當時，令，則；令，則.故在上
單調遞增，在上單調遞減.不妨設，且，要證
，
需證，即證，
又，所以只需證.即證：當時，
.
設
則
，∴
在
上
單調遞減，又
，故
.
口算能手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是橢圓
上任一點，點
到直線
的距離為
，到點
的距離為
，且
.直線
與橢圓
交于不同兩點
（
都在
軸上方），且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）當
為橢圓與
軸正半軸的交點時，求直線
方程；
（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論
如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代數學名著《續古摘奇算法》（楊輝）一書中有關于三階幻方的問題：將1,2,3,4,5,6,7,8,9分別填入
的方格中，使得每一行，每一列及對角線上的三個數的和都相等，我們規定：只要兩個幻方的對應位置（如每行第一列的方格）中的數字不全相同，就稱為不同的幻方，那么所有不同的三階幻方的個數是（ ）
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C： 
的離心率為
，短軸的一個端點到右焦點的距離為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為
，求△AOB面積的最大值，并求此時直線l的方程．
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